Q上の加法的関数 - Beyond the State-of-the-Art

今回はこの問題を解きます。

3段：有理数に対して定義され有理数値をとる関数fであって任意の有理数x,yに対してf(x+y)=f(x)+f(y)を満たすものをすべて求めよ
— 高校数学問題bot (@7k_x) January 1, 2016

関数 $f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}$ で、
$\forall x,y\in\mathbb{Q},\: f(x+y)=f(x)+f(y)\tag{1}\label{eq1}$
を満たすものを決定するという問題です。

先に答えを言うと、
$f(x)=ax\quad (a\in\mathbb{Q})\tag{2}\label{eq2}$
という形に限られます。この形の関数は確かに $\eqref{eq1}$ を満たします。

では、実際に答えが $\eqref{eq2}$ に限られることを示します。まずは特別な場合について考えます。 $\eqref{eq1}$ より、 $f(0)=f(0)+f(0)$ および $f(0)=f(x)+f(-x)$ が成り立ちます。この2つの式を使うと、
$f(x)=-f(x)\tag{3}\label{eq3}$
がわかります。

次に $n\in\mathbb{Z},x\in\mathbb{Q}$ に対して
$f(nx)=nf(x)\tag{4}\label{eq4}$
が成り立つことを見ます。 $n=0$ のときは明らか。 $n>0$ のときは
$f(nx)=f( (n-1) x )+f(x)\tag{5}\label{eq5}$
を繰り返し使うことによりわかります。 $n<0$ のときは
$f(nx)=(-n) f(-x)=(-n)(-f(x))=nf(x)\tag{6}\label{eq6}$
と示せます。

さて、 $\eqref{eq4}$ より直ちに、 $p\in\mathbb{Z},p\neq 0$ に対して
$\displaystyle f\left( \frac{1}{p} \right) = \frac{1}{p} f(1) \tag{7}\label{eq7}$
が成り立つことがわかります。任意の $x\in\mathbb{Q}$ は、
$\displaystyle x=\frac{p}{q} \quad (p,q\in\mathbb{Z},q\neq 0)\tag{8}\label{eq8}$
と表せるので、 $\eqref{eq4}$ と $\eqref{eq7}$ より
$\displaystyle f\left( \frac{p}{q} \right) = \frac{p}{q} f(1) \tag{9}\label{eq9}$
がわかります。最後に適当に $f(1)$ を決めれば $\eqref{eq2}$ となります。■