二項係数に関する恒等式 - Beyond the State-of-the-Art

この恒等式を証明します。
$\displaystyle \sum_{j=1}^{n} j\binom{2n}{n+j} = \frac{n}{2} \binom{2n}{n} \tag{*} \label{eq0}$
元ネタはhttps://twitter.com/MERU9RIN/status/684313920945786880です。

証明に必要な公式はこの3つです。
$\begin{align} j \binom{n}{j} &= n \binom{n-1}{j-1} \tag{1} \\ 2\sum_{j=1}^n \binom{2n}{n+j} &= 2^{n} - \binom{2n}{n} \tag{2} \\ 2\sum_{j=1}^n \binom{2n-1}{n+j-1} &= 2^{n-1} \tag{3} \end{align}$

1つ目は二項係数の定義よりわかります。
残りの2つは、 $\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} = 2^{n}$ と $\binom{n}{j} = \binom{n}{n-j}$ を使うと導き出せます。

上で挙げた3つの公式を用いると、恒等式の証明は次のようにできます。
$\begin{align} & \sum_{j=1}^{n} j\binom{2n}{n+j} \\ = & \sum_{j=1}^{n} (n+j) \binom{2n}{n+j} - n \sum_{j=1}^{n} \binom{2n}{n+j} \\ = & 2n \sum_{j=1}^{n} \binom{2n-1}{n+j-1} - n \sum_{j=1}^{n} \binom{2n}{n+j} \\ = & n 2^{n-1} - n \left( 2^{n-1} - \frac{1}{2} \binom{2n}{n} \right) \\ = & \frac{n}{2} \binom{2n}{n} \end{align}$
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P.S. もし組み合わせ論的に恒等式 $\eqref{eq0}$ を証明できる人がいたら、証明を教えて下さい。