Sine-Square DeformationとCFT - Beyond the State-of-the-Art

『数理物理 Advent Calendar 2018』22日目の記事です。 adventar.org 昨日に公開しないといけませんでしたが、遅れて今日公開となりました。

概要

Sine-square deformation (SSD) *1 とは、モデルのエネルギースケールをsin関数の2乗に従って端へ行くほど小さくしていく変形のことです。ある種の1次元量子系に対してSSDを施した場合、SSDのモデルの基底状態は、元のモデルで周期的境界条件を課した場合の基底状態に一致します。この一致性はCFTで説明されます。本記事では、SSDとCFTの関係性を簡単に紹介したいと思います。

Sine-Square Deformation

SSDがどのような変形なのかを説明します。tight-bindingモデルから始めます。サイト数を $N$ としてハミルトニアンを書くと、

$\displaystyle \mathcal{H}=-t \sum _ {j=1} ^ {N} ( c _ {j} ^ {\dagger} c _ {j+1} + c _ {j+1} ^ {\dagger} c _ {j} ) - \mu \sum _ {j=1} ^ {N} c _ {j} ^ {\dagger} c _ {j}$

となります。ただし周期的境界条件

$c _ {N+1} = c _ 1, \; c _ {N+1} ^ {\dagger} = c _ 1 ^ {\dagger}$

を課しています。SSDでは次のように変形します。

$\displaystyle \mathcal{H}=-t \sum _ {j=1} ^ {N} \sin ^ 2 \left( \frac{\pi j}{N} \right) ( c _ {j} ^ {\dagger} c _ {j+1} + c _ {j+1} ^ {\dagger} c _ {j} ) - \mu \sum _ {j=1} ^ {N} \sin ^ 2 \left( \frac{\pi (j - 1/2)}{N} \right) c _ {j} ^ {\dagger} c _ {j}$

今度はこれを様々なモデルに一般化した形に書き換えます。

$\displaystyle \mathcal{H}= \sum _ {j=1} ^ {N} f _ {j + 1/2} h _ {j, j+1} + \sum _ {j=1} ^ {N} f _ {j} h _ {j}$

ここで $\displaystyle f _ {j} = \sin ^ 2 \left( \frac{\pi (j - 1/2)}{N} \right)$ です。

tight-binding モデルの場合は、

$\displaystyle h _ {j,j+1} = -t ( c _ {j} ^ {\dagger} c _ {j+1} + c _ {j+1} ^ {\dagger} c _ {j} ), \; h _ {j} = - \mu c _ {j} ^ {\dagger} c _ {j}$

です。

この一般化したハミルトニアンを念頭において、CFTの話に移ろうと思います。CFTの話では連続系の話になるので、総和が積分になることに注意してください。

SSDとCFT

CFTとの関係性*2を駆け足で述べます。CFTについてはある程度既知であるものとして、話を進めます。

ここでは周長 $l$ の無限の長さのシリンダー上のCFTを考えます。ハミルトニアンは

$\displaystyle \mathcal{H} _ {0} = \int _ {0} ^ {l} \frac{dx}{2\pi} ( T _ {cyl} (w) + \bar{T} _ {cyl} (\bar{w}) )$

です。ここで、 $w = \tau + ix$ で、 $T _ {cyl} (w)$ はエネルギー運動量テンソルである。 conformal mapping

$w = \tau + ix = \frac{l}{2\pi} \log z$

を使うと、

$\displaystyle T _ {cyl} (w) = \left( \frac{2\pi}{l} \right) ^ {2} \left( T(z) z ^ 2 - \frac{c}{24} \right )$

と表せる。 $T(z)$ は次のようにモード展開できて、

$\displaystyle T(z) = \sum _ { n \in \mathbb{Z} } z ^ {-n-2} L _ {n}$

展開係数 $L _ {n}$ はVirasoro代数の関係式

$\displaystyle [ L _ m , L _ n ] = (m + n) L _ {m-n} + \frac{c}{12} ( m ^ 3 - m) \delta _ {m+n, 0}$

を満たします。

$L _ {n}$ を使ってハミルトニアンを書き換えることができて、

$\displaystyle \mathcal {H} _ 0 = \frac{2\pi}{l} (L _ 0 + \bar{L} _ 0) - \frac{\pi c}{6 \pi}$

の書けます。基底状態は $| \mathrm{vac} \rangle = | 0 \rangle \otimes | \bar{0} \rangle$ です。

ここからSSDの話に移ります。SSD ハミルトニアンを得るために、次のchiralハミルトニアンを導入します。

$\displaystyle \mathcal{H} _ {\pm} = \int _ {0} ^ {l} \frac{dx}{2\pi} ( e ^ {\pm \delta w} T _ {cyl} (w) + e ^ {\mp \delta \bar{w}} \bar{T} _ {cyl} (\bar{w}) )$